Пересечения прямых на плоскости.

[john5r]

Как известно, коммунизм в России построить не удалось по той причине, что все статуи Ленина в стране показывают рукой в разные стороны.
Однажды я заспорил со знакомыми вот о чем - если отметить на карте все памятники Ленину, провести от них линии по направлению указующей правой руки, то понятно, что эти линии будут пересекаться. Но вот будет ли хоть одна точка, в которой пересекутся три линии? Я говорил, что определенно нет. Два дня назад ночью проезжал мимо выборжского Ленина, вспомнил про этот спор и задумался о том, что эту проблему можно выразить в общей форме.

Какова вероятность того, что у ограниченного числа прямых на ограниченной плоскости будут такие точки пересечения, через которые будет проходить больше двух прямых?
Я изначально исхожу из того, что есть хотя бы одна точка пересечения - в городе больше одного Ленина, и их руки не параллельны. Значит вопрос стоит так - если есть плоскость, на которой две прямые и мы проводим произвольную третью прямую - какова вероятность того, что она пройдет через точку пересечения первых двух?
Есть ли возможность выразить эту вероятность для третьей, четвертой, пятой и т.д. прямых в общем виде?

UPD. Спасибо за комментарии. Согласен, что искать надо пересечения не прямых, а "полос" с некой шириной.

Comments

[asund.livejournal.com]

А то, что Земля круглая учитывается? Или только ограниченный участок, где можно пренебречь?
На мой взгляд - Ленин показывает светлое будущее либо для всего земного шара (тогда получается замкнутая линия, обходящая сферу - практически определяющая плоскость сечения этой сферы) либо, что менее вероятно, для всей Вселенной (тогда да, прямая - но надо учитывать еще угол наклона руки Ленина и с пересечением тоже не все так уж однозначно получается).

[john5r.livejournal.com]

не учитывается, только ограниченный участок с проекцией линии, выходящей из руки Ленина, на земную поверхность. *и с продлением ее в обратную сторону относительно точки начала, иначе это не прямая, а луч

[asund.livejournal.com]

Ясно. То есть Лениных ставим случайно ориентированных (произвольная третья прямая), а не как в жизни - рукой на обком КПСС.
Как зануда скажу сразу - вероятность пересечения трех прямых при этом околонулевая. Для более-менее серьезной вероятности пересечения надо брать не геометрические прямые, а сектора (Ленин показывает туда-то, плюс-минус N градусов). Но это я не посчитаю, я чайник.

[john5r.livejournal.com]

в жизни они как раз случайно ориентированные, потому что обкомы ставились не по сторонам света, а в зависимости от конкретной планировки ;)

но мне как раз интересен общий случай, в отрыве от Лениных - как считать вероятность пересечения/прохождения в определенной близи от точки пересечения при добавлении новой прямой на плоскость, где уже есть две пересекшихся